TRANSFORMASI GEOMETRI

TRANSFORMASI GEOMETRI

A.) Pengertian Transformasi

Transformasi pada bidang V adalah fungsi bijektif (satu-satu dan pada) dari V ke V.
Fungsi yang bijektif adalah fungsi yang bersifat :

1. Surjektif ( kodomain harus punya pasangan di domain /kepada)
Artinya bahwa pada tiap titik B V ada prapeta.jadi jika T suatu transformasi maka ada AV sehingga B=T(A). sedemikian sehingga T (A) =B
2. Injektif ( korespondensi satu-satu )
Artinya jika A1 ≠A2 dan T (A1) =B1 ,T(A2) =B2 maka B1≠B2.
Jika A1 A2,T(A1) = B1, T(A2)=B2 maka B1 B2

B.) Jenis –jenis transformasi antara lain :
a. Translasi (Pergeseran)
b. Refleksi (Pencerminan)
c. Rotasi (Perputaran)
d. Dilatasi (Perkalian)

*) Ingat ya...!  Suatu fungsi dikatakan transformasi apabila memenuhi syarat yaitu harus bersifat bijektif yaitu serjektif dan injektif.

C.) APA sih manfaat TRANSFORMASI?

Yang nggak tahu angkat tangan! :)
Jelas ada dong, misalnya untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang dsb. Yang jelas, Matematika secara "tidak langsung" akan ikut dalam semua kegiatan kita sehari-hari.

Nah, yuk bahas satu-satu!
 
 

TRANSLASI (Pergeseran sejajar): Perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan
arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah (vector) AB atau dengan suatu pasa- ngan bilangan

Matriks	Perubahan	Perubahan
é a ù ë bû	(x,y) ® (x+a, y+b)	F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0
Ket : x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b

Sifat:

• Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan
                                               ë b û
  dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
                                   ë d û                       ë b + d û
  
  
• Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
  
  

REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis): Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.

Pencerminan terhadap	Matriks	Perubahan Titik	Perubahan fungsi
sumbu-x	é 1 -0 ù ë 0 -1 û	(x,y) ® (x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(x,-y) = 0
sumbu -y	é -1 0 ù ë -0 1 û	(x,y) ® (-x,y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,y) = 0
garis y = x	é 0 1 ù ë 1 0 û	(x,y) ® (y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,x) = 0
garis y = -x	é -0 -1 ù ë -1 -0 û	(x,y) ® (-y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,-x)= 0

Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1


SIFAT-SIFAT

1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
   
   
2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
   
   • Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
   • Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
     
     
3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
   
   
4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
   
   • Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
   • Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
   • Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
     
     
     

ROTASI (Perputaran dengan pusat 0): Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat rotasi.

 Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ
dinotasikan dengan R (P, θ ).
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0) (dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ belawanan arah jam terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan P ' (x ' , y ' ). Maka:

R(O, θ ): P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x cosθ - y sinθ , x sinθ + y cos θ ) 

 

2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b) (dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan dengan arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah P ' (x ' , y ' ) dengan:

x ' - a = (x –a) cosθ - (y-b) sinθ
y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ

rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
½ p	é0  -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
p	é-1  0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p	é0  -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
q	écosq -sinq ù ësinq  cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1

Untuk θ = 90 0 , -90 0 , 180 0 , 270 0 , -270 0 dengan memasukkan nilai θ tersebut didapat tabel sbb:
 

SIFAT-SIFAT

1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
   
   
2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
   
   Catatan:
   
   Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
   
   
   

DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0): Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan factor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
Pemetaannya:
[O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)

2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Titik P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b) dengan factor skala k, didapat bayangan P ' ( x ' , y ' ) dengan:

x ' - a = k(x - a) dan y ' - b = k (y - b)

Dilatasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
(0,k)	ék  0ù ë0  kû	(x,y)®(kx,ky)	F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

Ket.:

(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.

Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA
b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A
c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO

Well, udah di akhir paragraf nih. Yang pusing angkat tangan...! (*LOL). Hm, sebenarnya semuanya nggak akan susah kalau kita nggak merasa susah. Jadi buat apa dibikin susah ya? He he...

Admin mau pamit, sekian dan terima kasih mau mampir kemari.

See you agan... :)